Raoul Bilombo

Analyse Mathematique Cours Et Exercices Corriges Tome 7 Raoul Bilombo

Ce cours est une introduction à un chapitre important et relativement récent de l'analyse Mathématique: la théorie de distributions. Cette théorie fut crée par Laurent Schwartz entre 1944 et 1950 et elle a permis à son auteur de recevoir la médaille Fields (équivalent du prix Nobel pour les mathématiques) en 1950. Nous allons également donner quelques applications de la théorie de distributions aux équations de la physique mathématique. Ces équations ont constitué l'une de motivations principales de développement de la théorie de Laurent Schwartz. Malheureusement les cours qui sont à notre disposition ne nous permettent pas d'avancer d'une façon significative dans l'étude des équations de la physique mathématique (ou équations aux dérivées partielles). Nous nous contenterons donc de calculer les solutions fondamentales de quelques opérateurs différentiels et d'étudier une classe d'espace de distributions qui intervient d'une manière essentielle dans la théorie moderne des équations aux dérivées partielles: les espaces de Sobolev. L'utilisation systématique de ces notions dans l'étude fine d'équations aux dérivées partielles fera l'objet d'un cours spécialisé. Comme la plupart de grandes théories scientifiques, la théorie de distributions est construite sur des bases provenant de travaux effectués par de nombreux chercheurs. Décrivons brièvement, en suivant l'introduction de la monographie et le livre de mémoires de Laurent Schwartz, l'influence du calcul symbolique de Heaviside et de la théorie de solutions faibles des équations aux dérivées partielles (théorie due à Leray et à Sobolev). Le chapitre 2, porte sur les préliminaires qui sont: Les espaces dont la topologie est définie par une famille de semi normes; Les espaces des fonctions k fois continûment dérivables sur un ouvert de Rn ( ); Les espaces D( ) de fonctions à support compact dans; Formule de Leibniz et Formule de Taylor avec reste intégral. Le chapitre 3, porte sur les distributions qui sont: Les exemples de distributions; Ordre et support d'une distribution; Distributions à support compact; Image d'une distribution par une application linéaire; Produit d'une distribution par une fonction; Division par x dans D'(R). Le chapitre 4, porte sur la dérivation des distributions qui sont: Dérivation dans l'espace des distributions; distributions supportées par l'origine; Solutions élémentaires d'opérateurs différentiels; Primitive d'une distribution; Structure locale des distributions. Le chapitre 5, sur la convergence des suites de distributions. Le chapitre 6, porte sur la convolution des distributions qui sont: La convolution des distributions et des fonctions; Les transformations de Fourier et de Laplace des distributions Le chapitre 7, porte sur les applications qui sont: Les espaces de Sobolev; Les opérateurs elliptiques; La solution fondamentale des opérateurs différentiels à coefficients constants; Hypo ellipticité et hypo ellipticité analytique; Transformation de Fourier et Equations aux Dérivées Partielles. Ce cours est enseigné par l'auteur de 2002-2019, aux étudiants de Master des Sciences Physiques de l'Ecole Normale Supérieure; Département des sciences exactes. Ce cours s'adresse aux étudiants des masters des sciences exactes; Des Grandes Ecoles et aux Physiciens qui désirent approfondir la Modélisation. Grâce à une démarche pédagogique, il permet à l'étudiant de s'entraîner progressivement et d'acquérir des compétences, quelque soit son niveau de départ. Chaque chapitre est divisé en trois parties: - les éléments de cours présentant les résultats essentiels à connaître; - les énoncés des travaux dirigés classés par thème; - les solutions détaillées de tous les travaux dirigés.